Question

已知函数f（x）=

x-1

+

3-x

（1）计算f（

5

4

），f（

3

2

），f（

11

4

），f（

5

2

）的值，据此提出一个猜想，并予以证明；
（2）证明：除点（2，2）外，函数f（x）=

x-1

+

3-x

的图象均在直线y=2的下方．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数表达式计算f（

5

4

），f（

3

2

），f（

11

4

），f（

5

2

）的值，然后进行猜想；
（2）利用函数的单调性先证明函数f（x）的单调性即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-1

+

3-x

，
∴f(

5

4

)=f(

11

4

)=

7 +1

2

，f(

3

2

)=f(

5

2

)=

2 + 6

2

，
猜想：f（x）的图象关于x=2对称，下面证明猜想的正确性；
∵f（4-x）=

(4-x)-1

+

3-(4-x)

=

3-x

+

x-1

=f(x)，
∴f（x）的图象关于x=2对称．
（2）∵f（x）=

x-1

+

3-x

的定义域为[1，3]，由（1）知f（x）的图象关于x=2对称
设1≤x₁＜x₂≤2，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

+

3-x1

-

x2-1

+

3-x2

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

+

x1-x2

3-x1 + 3-x2

=(x1-x2)[

1

x1-1 + x2-1

+

1

3-x1 + 3-x2

]，
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＞0，
又

1

x1-1 + x2-1

+

1

3-x1 + 3-x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为[1，2]上的增函数，由对称性知f（x）在[2，3]上为减函数，
∴f（x）≤f（2）=2
∴y=f（x）的图象除点（2，2）外均在直线y=2的下方

点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键，考查学生的归纳能力．