Question

函数y=cos²x+2asinx在区间[-

π

6

，π]上的最大值为2，则实数a的值为（　　）

• A、1或 -

  5

  4

• B、-

  5

  4

• C、

  5

  4

• D、1或

  5

  4

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：因为cos²x=1-sin²x，用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题，按照对称轴在区间的左面、在区间内和在区间的右面三种情况讨论．

解答： 解：f（x）=cos²x+2asinx=-sin²x+2asinx+1
令t=sinx，因为x∈[-

π

6

，π]，
所以-

1

2

≤t≤1且y=-t²+2at+1，其对称轴为t=a，
故a≤-

1

2

时，y=-t²+2at+1在[-

1

2

，1]上是减函数，最大值为

3

4

-a，由

3

4

-a=2可得a=-

5

4

；
-

1

2

＜a≤1时，y=-t²+2at+1最大值为a²+1，由a²+1=2，可得a=1；
a＞1时，y=-t²+2at+1在[-

1

2

，1]上是增函数，最大值为2a，由2a=2，可得a=1，舍去．
综上，a=-

5

4

或1．
故选A．

点评：本题考查三角函数的最值问题，二次函数在特定区间上的最值问题，分类讨论思想和换元转换思想．