Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，-1是函数F（x）=f（x）+2的一个零点，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据-1是F（x）的一个零点知F（-1）=lgb-lga+1=0，而由对任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立可得：x²+xlga+lgb≥0恒成立．所以△=（lga）²-4lgb≤0，带入lga=lgb+1可得：（lgb-1）²≤1，所以便得到b=10，a=100．

解答： 解：由已知条件知，F（-1）=0；
∴lgb-lga+1=0；
又f（x）≥2x恒成立，有x²+xlga+lgb≥0恒成立；
∴△=（lga）²-4lgb≤0；
由将 lgb-lga+1=0得，lga=lgb+1；
∴（lgb+1）²-4lgb≤0；
∴（lgb-1）²≤0；
故lgb=1，即b=10，则a=100．

点评：考查函数零点的概念，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及对数的运算．