Question

已知椭圆方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂是它的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，若

PF1

•

PF2

的取值范围是[2，3]．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点为A，B，l是椭圆的右准线，P是椭圆上任意一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点，求

MF1

•

NF2

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，

PF1

•

PF2

=

x

2 0

+

y

2 0

-c2，由

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，知b²-c²≤

PF1

•

PF2

≤b²，由此能求出椭圆方程．
（2）利用（1）的条件，求得M、N点的坐标，得出

MF1

=（-5，-

6y0

x0+2

），

MF2

=（-3，-

2y0

x0-2

），结合

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，由向量数量积运算化简即可得出结论．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，
∴

PF1

•

PF2

=（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=

x

2 0

+

y

2 0

-c2，
∵

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

+b²-

b2

a2

x

2 0

-c²=

c2

a2

x

2 0

+b²-c²．
∵0≤x₀²≤a²，∴b²-c²≤

PF1

•

PF2

≤b²，
∴

b2=3 b2-c2=2

，∴b²=3，c²=1，∴a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）得A（-2，0），B（2，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l的方程为x=4，设P（x₀，y₀），则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，
∵k_PA=

y0

x0+2

，∴直线PA的方程为y=

y0

x0+2

（x+2），∴由

y= y0 x0+2 (x+2) x=4

得M（4，

6y0

x0+2

），
同理可得N（4，

2y0

x0-2

），
∴

MF1

=（-5，-

6y0

x0+2

），

MF2

=（-3，-

2y0

x0-2

），
∴

MF1

•

NF2

=15+

12 y 2 0

x 2 0 -4

=15+

12×3(1- x 2 0 4 )

x 2 0 -4

=15-9=6．

点评：本题考查直线 和圆锥曲线的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．