Question

如果一个函数f（x）的图象既关于y轴对称，又关于原点对称，那么称这个函数f（x）为“友好函数”．在下列几个函数中，
①函数f（x）=0；
②函数f（x）=x⁰；
③函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）成立；
④函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f（x•y）=f（x）+f（y）成立；
⑤函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R，都有f（-|x|）=-f（x）成立；
其中属于“友好函数”的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：本题根据新定义“友好函数”，研究选项中的函数①②是否符合条件，选项③④⑤，要通过特殊值代入法，先研究函数的解析式，再加以判断，

解答： 解：函数f（x）的图象既关于y轴对称，又关于原点对称，则函数即为奇函数，又是偶函数，
∴函数f（x）的定义域关于0对称，
且f（-x）=-f（x），f（-x）=f（x），
∴-f（x）=f（x），
即f（x）=0．
则①f（x）=0，指出了函数的解析式，未指出函数定义域，故①不符合条件；
②f（x）=x⁰=1，（x≠0）图象关于y轴对称，不关于原点对称，②不符合条件；
③不妨取f（x）=2^x，满足f（x+y）=f（x）•f（y），但函数f（x）的图象既不关于y轴对称，又不关于原点对称，③不符合条件；
④函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f（x•y）=f（x）+f（y）成立
令x=y=0，得f（0）=2f（0）则f（0）=0，
令y=0，得f（0）=f（x）+f（0），则f（x）=0，
∴函数f（x）=0，函数f（x）的图象既关于y轴对称，又关于原点对称，④符合条件；
⑤函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R，都有f（-|x|）=-f（x）成立，
令x=0，得f（0）=-f（0）则f（0）=0，
当x＜0时，有：f（x）=-f（x），f（x）=0，
当x＞0时，-x＜0，有：f（-x）=-f（x），即f（x）=-f（-x）=0，
∴函数f（x）=0，函数f（x）的图象既关于y轴对称，又关于原点对称，⑤符合条件．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查了函数的奇偶性、抽象函数的研究，本题计算量大，思维质量高，属于难题．