Question

已知函数f（x）=

m•2x+n

2x+m

（m≠0）是定义在R上的奇函数．
（1）求m，n．
（2）判断函数f（x）的单调性．
（3）解关于t的方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的性质得

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，代入解析式列出方程组，求出m，n的值；
（2）由（1）求出解析式，再分离常数，利用指数函数、复合函数的单调性进行判断即可；
（3）由（1）化简log_m-n（t²-3t），再化简2

log

(t2-3t) 2

，代入方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

化简，求出t的值并验证真数大于零．

解答： 解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，即

m+n 1+m =0 m•2-1+n 2-1+m =- 2m+n 2+m

，
解得m=1，n=-1；
（2）由（1）得，f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以函数f（x）在R上单调递增；
（3）由（1）得，log_m-n（t²-3t）=log₂（t²-3t），
则2

log

(t2-3t) 2

=t²-3t，
所以f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

为：

t2-3t-1

t2-3t+1

=

3

5

，
化简得t²-3t-4=0，解得t=-1或4，满足t²-3t＞0，
所以方程的解是t=-1或4．

点评：本题考查利用函数的奇偶性求参数，指数函数和复合函数的单调性，分离常数法化简函数解析式，以及指数、对数的运算，属于中档题．