Question

已知哈市南湖f（x）=x²+

x

2

-4（x＞0），g（x）和f（x）的图象关于原点对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）是判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）可设（x，y）是g（x）图象上的点，所以该点关于原点的对称点（-x，-y）在函数f（x）的图象上，所以便得到-y=x2-

x

2

-4，所以便可得到g（x）=-x2+

x

2

+4；
（2）求g′（x），根据其在（-1，0）上的符号即可判断g（x）在（-1，0）上的单调性．

解答： 解：（1）设（x，y）是g（x）图象上的任意点，根据题意：
点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）在f（x）的图象上；
∴-y=(-x)2-

x

2

-4；
∴y=-x2+

x

2

+4；
即g（x）=-x2+

x

2

+4；
（2）g′（x）=

-4x+1

2

；
∴x∈（-1，0）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（-1，0）上单调递增．

点评：考查关于原点对称的两点的坐标表示，在函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及根据函数导数符号判断函数在一区间上的单调性的方法．