Question

5．若x＞0，y＞0且2x+y=3，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 先将2x+y=3化为1，利用“1”的代换和基本不等式求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

解答 解：由2x+y=3得，$\frac{1}{3}$（2x+y）=1，
因为x＞0，y＞0，
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{3}$（2x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$）$≥\frac{1}{3}（3+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}）$=$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$，
当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$时取等号，
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$，
故答案为：$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查基本不等式在求最值中的应用，以及利用“1”的代换，考查转化思想，化简、变形能力．