Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求实数 a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x=1为对称轴，求得f（x）的对称轴方程，即可得到a；
（2）求得f（x）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a的范围；
（3）由函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
知函数f（x）=x²-2ax+1的对称轴为x=a，即a=1；
（2）函数f（x）=x²-2ax+1的图象的对称轴为直线x=a，
由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；                                              
（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得．
当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2-2a；
当a＞0时，x=-1时，函数取得最大值为：2+2a；
当a=0时，x=1或-1时，函数取得最大值为：2．

点评 本题考查二次函数的图象和性质的运用，主要是单调性和最值，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．