Question

9．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2）时，f（x）=-x²+2x．记函数g（x）=f（x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 由题意得当x∈（1，2]时，f（x）=-x²+2x．，当x∈（2，4]时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．；当x∈（4，8]时，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x．；函数g（x）恰有两个零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=k（x-1）的图象有且仅有两个交点．

解答 解：由题意得当x∈（1，2]时，f（x）=-x²+2x，
当x∈（2，4]时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
当x∈（4，8]时，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x；
如图，函数g（x）恰有两个零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=k（x-1）的图象有且仅有两个交点，
而直线y=k（x-1）过定点（1，0），
若直线y=k（x-1）过点（2，2）时，有且仅有一个交点，k=2；
直线y=k（x-1）过点（4，4）时，有且仅有两个交点，k=$\frac{4}{3}$，
因此实数k的取值范围是[$\frac{4}{3}$，2）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点，转化思想是关键，属于中档题．