题目内容
17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，且|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{2}$，它的焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在正实数t，使直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=$\frac{5}{6}$上，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）直接根据椭圆的定义可求出a，再利用a2=b2+c2求出c即可；
（2）联立方程组利用韦达定理求出x1+x2=$-\frac{4t}{3}$，y1+y2=x1+x2+2t=$\frac{2t}{3}$，带入中点坐标到圆方程即可求出t值．
解答 解：（1）因为F1，F2为左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{2}$
∴a=$\sqrt{2}$；
∵2c=2⇒c=1；
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1；
所以，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化简后有：3x2+4tx+2t2-2=0 ①；
由①知：x1+x2=$-\frac{4t}{3}$
所以：y1+y2=x1+x2+2t=$\frac{2t}{3}$；
由于线段AB的中点在圆x2+y2=$\frac{5}{6}$上，
所以有：$（-\frac{2t}{3}）^{2}+（\frac{t}{3}）^{2}=\frac{5}{6}$⇒t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（负舍）；
故存在t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$满足题意
点评 本题主要考查了椭圆方程基础定义，以及韦达定理在椭圆与直线综合中的应用，属中等题．
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