已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点为F1.F2.P是椭圆上任意一点.且|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{2}$.它的焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)是否存在正实数t.使直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A.B.且线段AB的中点在圆x2+y2=$\frac{5}{6}$上.若存在.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在正实数t，使直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=$\frac{5}{6}$上，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）直接根据椭圆的定义可求出a，再利用a²=b²+c²求出c即可；
（2）联立方程组利用韦达定理求出x₁+x₂=$-\frac{4t}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$，带入中点坐标到圆方程即可求出t值．

解答解：（1）因为F₁，F₂为左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$
∴a=$\sqrt{2}$；
∵2c=2⇒c=1；
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1；
所以，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化简后有：3x²+4tx+2t²-2=0 ①；
由①知：x₁+x₂=$-\frac{4t}{3}$
所以：y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$；
由于线段AB的中点在圆x²+y²=$\frac{5}{6}$上，
所以有：$（-\frac{2t}{3}）^{2}+（\frac{t}{3}）^{2}=\frac{5}{6}$⇒t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（负舍）；
故存在t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$满足题意