Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$时，求α的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MP}$|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用α的三角函数的坐标法定义得到P 坐标；
（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$，得到关于α的三角函数等式，求α的值；
（Ⅲ）假设存在M（x，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x值．

解答 解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}=（cosα+\frac{1}{2}，sinα）$，$\overrightarrow{BP}=（cosα-\frac{3}{2}，sinα）$，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$时，
即（cos$α+\frac{1}{2}$）（cos$α-\frac{3}{2}$）+sin²α=$\frac{-1}{4}$，整理得到cos$α=\frac{1}{2}$，所以锐角α=60°；
（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），$\overrightarrow{MP}=（cosα-x，sinα）$，
则由|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MP}$|恒成立，得到$\frac{5}{4}+cosα$=$\frac{1}{4}（1-2xcosα+{x}^{2}）$，整理得2cosα（2+x）=x²-4，
所以存在x=-2时等式恒成立，所以存在M（-2，0）．

点评 本题考查了三角函数的坐标法定义的运用以及平面向量的运算；关键是正确利用坐标表示各向量，并正确化简运算．