题目内容
过双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作倾斜角为60°的直线与双曲线相交于A、B两点，若
=4
，则双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF |
| BF |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、以上均不对 |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据题意，画出图形，结合图形，求出点B的坐标（x2，y2），利用e=
得出关于e的方程，验证答案是否正确即可．
|
| ||
| d |
解答：
解：根据题意，A在双曲线的右支上，B在左支上，
设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点F（-c，0），如图所示
∵
=4
，
∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，
∴x1=4x2+3c①；
又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，
∴y=
（x+c），
直线方程与双曲线方程
-
=1联立，消去y得；
b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，
即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，
∴x1+x2=
②；
由①②得，
x2=
-
，y2=
（
+
）；
∴e=
=
=
=
=
，
即3e4-4e3-13e2+4e-20=0，
验证e=
和e=
都不是该方程的解．
故选：D．
设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点F（-c，0），如图所示
∵
| AF |
| BF |
∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，
∴x1=4x2+3c①；
又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，
∴y=
| 3 |
直线方程与双曲线方程
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，
即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，
∴x1+x2=
| 6a2c |
| b2-3a2 |
由①②得，
x2=
| 6a2c |
| 5(b2-3a2) |
| 3c |
| 5 |
| 3 |
| 6a2c |
| 5(b2-3a2) |
| 2c |
| 5 |
∴e=
|
| ||
| d |
| ||
|x2-
|
2(
| ||||||
|
|
| 4(c2-a2)c2 |
| -20a4-13a2c2+3c4 |
| 4(e2-1)e2 |
| 3e4-13e2-20 |
即3e4-4e3-13e2+4e-20=0，
验证e=
| 6 |
| 5 |
| 10 |
| 3 |
故选：D．
点评：本题考查了求曲线的离心率的问题，也考查了直线与双曲线交点的问题，考查了计算能力，是难题．
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