Question

1．表是某校某班（共30人）在一次半期考试中的数学和地理成绩（单位：分）

学号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
数学成绩	127	136	137	129	117	129	124	99	108	107	95	107	105	123	113
地理成绩	90	72	72	74	70	45	78	62	84	68	76	70	54	76	76
学号	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
数学成绩	86	109	84	68	80	69	58	79	58	60	42	71	28	50	40
地理成绩	56	66	56	60	40	60	58	50	58	42	56	38	40	44	50

将数学成绩分为两个层次：数学I（大于等于100分）与数学Ⅱ（低于100分），地理也分为两个层次：地理I（大于等于67分）与地理Ⅱ（低于67分）．
（I）根据这次考试的成绩完成如下2×2联表，运用独立性检验的知识进行探究，可否有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”？

	地理Ⅰ	地理Ⅱ
数学Ⅰ	11
数学Ⅱ		15
			30

（II）从数学与地理成绩分属不同层次的同学中任取两名，求抽到的同学数学成绩都为层次I的概率．
可能用到的公式和参考数据：K²的统计量：K²=$\frac{{（{a+b+c+d}）{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
独立性检验临界值表（部分）：

P（K2≥k0）	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）由图表完成2×2列联表，根据列联表中的数据可得K²，和临界值表比对后即可得到答案；
（Ⅱ）数学与地理成绩分属不同层次的同学中共有4人，任取两名枚举可得共有6种情况，抽到的同学数学成绩都为层次I共3种，由古典概型公式，求得抽到的同学数学成绩都为层次I的概率．

解答 解：（I）由题可得如下2×2列联表

	地理Ⅰ	地理Ⅱ	总计
数学Ⅰ	11	3	14
数学Ⅱ	1	15	16
总计	12	18	30

假设数学成绩与地理成绩无关，由公式得${{K}^2}=\frac{{30{{（{11×15-1×3}）}^2}}}{14×16×12×18}=\frac{3645}{224}≈16＞10.828$
根据所给参数可知数学成绩与地理成绩无关的概率小于0.1%
故而有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”．…（6分）
（II）数学与地理成绩分属不同层次的同学中共有4人，任取两名枚举可得共有6种情况；
抽到的同学数学成绩都为层次I共3种，
则所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，考查古典概型公式，考查计算能力，属于中档题．