Question

10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2$\sqrt{3}$，DE⊥面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{2}{3}$BD．
（1）求证：FB∥面ACE；
（2）若CF与面ABCD所成角的正切为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于O，连接EO，证明四边形BOEF为平行四边形，可得EO∥FB，利用线面平行的判定定理证明FB∥面ACE；
（2）过F作FM∥ED，交DB于M，连接CM，利用ED⊥平面ABCD，FM⊥平面ABCD，可得∠FCM为FC与面ABCD所成的角，利用等体积求三棱锥F-ABC的体积．

解答 （1）证明：设AC交BD于O，连接EO，在△ABD中，由余弦定理可得：DB=3．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥DB，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．
∴$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$，∴$BO=\frac{2}{3}BD=EF$，
又EF∥BD，∴四边形BOEF为平行四边形．
∴EO∥FB．
又∵EO?面ACE，FB?面ACE，
∴FB∥面ACE．

（2）解：过F作FM∥ED，交DB于M，连接CM，
∵ED⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，
∴∠FCM为FC与面ABCD所成的角，
易知DM=EF=2
在△DCM中，由余弦定理可得CM=1
∴$tan∠FCM=\frac{FM}{CM}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，∴$FM=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∵DC∥AB，
∴${S_{△ABC}}={S_{△ABD}}=\frac{1}{2}DA•DB=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
∴${V_{F-ABC}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ADB}}•FM=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．