Question

9．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx，g（x）=e^x-ex+1．
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；
（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；
（Ⅱ）构造函数m（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，
∴f（1）=2-1=1，
f'（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴f'（1）=0，
∴切线方程为y=1；
（Ⅱ）令m（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，
∴m'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，
当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，
故m（x）的最大值为m（1）=1，
f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，
∴a=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，
g（x）=e^x-ex+1．
g'（x）=e^x-e，
∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，
当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，
g（x）≥f（x）恒成立，
∴1≥a-1，
∴a≤2．

点评 考查了导函数的概念，恒成立问题的转化，零点问题的转化，常用方法的应用．