Question

13．已知f（x）=$\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}$，g（x）=ax³-x²-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的图象C在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程是y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
（1）若求a，b的值，并证明：当x∈（-∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$上或在其下方；
（2）求证：当x∈（-∞，2]时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据$g'（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，求出a的值，图象C过点$A（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，求出b的值，问题转化为证明当x∈（-∞，2]时，$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}≥g（x）$，根据函数的单调性证明即可；
（2）问题转化为证明?x∈（-∞，2]，$f（x）≥\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，构造函数g（x），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）g'（x）=3ax²-2x-1，
因为g（x）=ax³-x²-x+b的图象C在$x=-\frac{1}{2}$处的切线方程是$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，
所以$g'（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，即$3a{（-\frac{1}{2}）^2}-2×（-\frac{1}{2}）-1=\frac{3}{4}$，解得a=1．
因为图象C过点$A（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，所以${（-\frac{1}{2}）^3}-{（-\frac{1}{2}）^2}-（-\frac{1}{2}）+b=\frac{3}{4}$，解得$b=\frac{5}{8}$．
要证明：当x∈（-∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$上或在其下方，
只要证明：当x∈（-∞，2]时，$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}≥g（x）$．
令$k（x）=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}-g（x）=-{x^3}+{x^2}+\frac{7}{4}x+\frac{1}{2}$，
$k'（x）=-3{x^x}+2x+\frac{7}{4}$，令$k'（x）=-3{x^x}+2x+\frac{7}{4}=0$，得$x=-\frac{1}{2}，x=\frac{7}{6}$，
验证得$k{（x）_{min}}=min\left\{{k（-\frac{1}{2}），k（2）}\right\}=0$，
所以?x∈（-∞，2]，$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}≥g（x）$成立，
所以当x∈（-∞，2]时，g（x）的图象C上任意一点都在切线$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$上或在其下方．
（2）只要证明：?x∈（-∞，2]，$f（x）≥\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
?x∈（-∞，2]，令$h（x）=f（x）-（\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}x-\frac{9}{8}$，
$h'（x）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}$，令$h'（x）=0，x=-\frac{1}{2}$，
当$x∈（-∞，-\frac{1}{2}）$时，h'（x）＜0，当$x∈（-\frac{1}{2}，2）$时，h'（x）＞0，所以$h（x）≥h（-\frac{1}{2}）=0$，
所以?x∈（-∞，2]，$f（x）≥\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$成立，
又由（1）得，?x∈（-∞，2]，$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}≥g（x）$，
所以?x∈（-∞，2]，$f（x）≥\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}≥g（x）$，
所以?x∈（-∞，2]，f（x）≥g（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．