Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数构成的集合为{2，3，4，5，6，8}．．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$，的图象，判断x+$\frac{1}{x}$-2的范围，利用a的值，判断方程解的个数，即可得到方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数构成的集合．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$的图象，如图：当x＞1时，x+$\frac{1}{x}$-2＞0，当x=1时，x$+\frac{1}{x}$-2=0，
当x∈（0，1）时，x+$\frac{1}{x}$-2＞0，
当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$-2＜0，

当a＜0或a＞2时，函数y=f（x+$\frac{1}{x}$-2）与y=a，由一个交点，此时方程有两个x值，满足题意．
当a=0时，函数有两个交点，满足方程的解由x=0，与x＞0的两个解，此时解的集合为：3个；
a=2时，方程有4个解．
a∈（1，2）时，方程有8个解．
a=1时，方程有6个解．
a∈（0，1），方程有5个解．
关于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数构成的集合为：{2，3，4，5，6，8}．
故答案为：{2，3，4，5，6，8}．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力．