Question

19．已知F₁、F₂是椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆E的离心率为$\frac{1}{2}$．过原点O的直线交椭圆于C、D两点，若四边形C F₁DF₂的面积最大值为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆E的方程
（2）若直线1与椭圆E交于A、B且OA⊥OB，求证：原点O到直线1的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，当C，D位于椭圆的上下顶点时，四边形CF₁DF₂的面积最大值为2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$×2c×2b=2$\sqrt{3}$．则bc=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$×2c×2b=2$\sqrt{3}$．则bc=$\sqrt{3}$，则b=$\sqrt{3}$，a=2，即可求得椭圆标准方程；
（2）当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，由x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得x₁，原点O到直线l的距离为d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．求得当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得7m²=12（k²+1），原点O到直线的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，
当C，D位于椭圆的上下顶点时，四边形CF₁DF₂的面积最大值为2$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$×2c×2b=2$\sqrt{3}$．则bc=$\sqrt{3}$，
则c=1，b=$\sqrt{3}$，a=2，
∴椭圆E的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁²-y₁²=0
∵3x₁²+4y₁²=12，∴|x₁|=|y₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴原点O到直线l的距离为d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，
消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，m²＜3+4k²，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，整理得：
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
即$\frac{7{m}^{2}-12-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴7m²=12（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
综上，点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题．