Question

18．如图，F₁，F₂是椭圆${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$与双曲线C₂的公共焦点，A，B分别是C₁，C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则双曲线C₂的渐近线方程是（　　）

• A． $y=±\sqrt{2}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x

Answer 1

分析 由题意可知：AF₁|+|AF₂|=2a=4，丨AF₁丨²+丨AF₂丨²=丨F₁F₂丨²，则丨AF₁丨=2-$\sqrt{2}$，丨AF₂丨=2+$\sqrt{2}$，由双曲线的定义可知：2a′=|AF₂|-|AF₁|，c′=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，则双曲线C₂的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x．

解答 解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的点，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴丨AF₁丨²+丨AF₂丨²=丨F₁F₂丨²，即x²+y²=（2c）²=12，②
由①②得 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$，
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，
2c′=2$\sqrt{3}$，则c=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，
双曲线C₂的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
故选B．

点评 本题考查双曲线的定义及简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．