Question

6．函数f（x）=x^m（1-x）ⁿ在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值为（　　）

• A． m=1，n=1
• B． m=1，n=2
• C． m=2，n=1
• D． m=2，n=2

Answer 1

分析 利用函数的图象，原函数的极大值点小于0.5．把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案．

解答 解：由于本题是选择题，可以用代入验证法来解答，
由图得，原函数的极大值点小于0.5．
当m=1，n=1时，f（x）=x（1-x）=x-x²．是二次函数在x=$\frac{1}{2}$处有最值，故A错误；
当m=1，n=2时，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x（1-x）²=x³-2x²+x，所以f′（x）=（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{3}$，x=1，即函数在x=$\frac{1}{3}$处有最值，故B正确；
当m=2，n=1时，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x²（1-x）=x²-x³，有f'（x）=2x-3x²=x（2-3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{2}{3}$，即函数在x=$\frac{2}{3}$处有最值，故C错误；
当m=3，n=1时，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x³（1-x）=x³-x⁴，有f′（x）=x²（3-4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{4}$，即函数在x=$\frac{3}{4}$处有最值，故D错误．
故选：B．

点评 本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．