Question

14．已知a≥2，函数F（x）=min{x³-x，a（x+1）}，其中min{p，q}=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≤q}\\{q，p＞q}\end{array}\right.$．
（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；
（2）求函数F（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x³-x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），画出函数f（x），g（x）的图象，结合图象求出F（x）的递减区间即可；
（2）根据a的范围，在[-1，1]上，F（x）=f（x）=x³-x，求出F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）令f（x）=x³-x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），
令f（x）=g（x），解得：x=-1或x=2，
画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：
，
显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x），
故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-x，x≤2}\\{2（x+1），x＞2}\end{array}\right.$，
故F（x）在在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递减；
（2）由（1）得：a≥2时，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-x，x≤\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\\{a（x+1），x＞\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\end{array}\right.$，
而$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$＞2，
故在[-1，1]上，F（x）=f（x）=x³-x，
而f（x）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递减，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]递增，
故F（x）的最大值是F（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．