Question

16．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，H分别是AD₁、CD₁、BC、AB的中点．
（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；
（Ⅱ）求证：GH⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，证明EF∥GH，即可证明E，F，G，H四点共面；
（Ⅱ）连结BD，证明GH⊥平面BDD₁B₁，即可证明GH⊥B₁D．

解答 证明：（Ⅰ）如图，连结AC．（1分）
∵E，F分别是AD₁、CD₁的中点，∴EF∥AC．（2分）
∵G，H分别是BC、AB的中点，∴GH∥AC．（3分）
∴EF∥GH．（4分）
∴E，F，G，H四点共面．（5分）
（Ⅱ）连结BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴AC⊥BD，AC⊥DD₁．（7分）
∵BD∩DD₁=D，BD，DD₁?平面BDD₁B₁，∴AC⊥平面BDD₁B₁．（9分）
又∵GH∥AC，∴GH⊥平面BDD₁B₁，（10分）
又∵BD₁?平面BDD₁B₁，∴GH⊥B₁D．（11分）

点评 本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．