Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（x-1），（a＞0且a≠1），q（x）=log₃[（1-x）（mx+3）]，m∈R．
（1）求q（x）的定义域；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），若h（3）=-1，且对区间[3，4]上的每一个x的值，不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论解不等式（1-x）（mx+3）＞0，即可的定义域．（2）求出h（x）=log

x+1 x-1 1 2

=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

，
不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立问题转化为求解k（x）=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

-（

1

2

）^x，最值问题

解答： 解：（1）∵q（x）=log₃[（1-x）（mx+3）]，m∈R，
∴（1-x）（mx+3）＞0，
当m=0时，x＜1，
当m≠0时，（1-x）（mx+3）=0，x=1，x=-

3

m

，
当m＞0时，（1-x）（mx+3）＞0的解集为；（-

3

m

，1），
当-3＜m＜0时，1＜-

3

m

，解集为；（-

3

m

，+∞）∪（-∞，1）
当m=-3时，解集为；（-∞，1）∪（1，+∞）
当m＜-3时，解集为；（-∞，-

3

m

）∪（1，+∞）
所以q（x）的定义域：当m=0时，（-∞，1），
当m＞0时，（-

3

m

，1），
当-3＜m＜0时，（-

3

m

，+∞）∪（-∞，1）
当m=-3时，（-∞，1）∪（1，+∞）
当m＜-3时，（-∞，-

3

m

）∪（1，+∞）
（2）h（x）=f（x）-g（x）=log

x+1 x-1 a

，
h（3）=-1，a=

1

2

，
∴h（x）=log

x+1 x-1 1 2

=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

，
∵h（x）＞(

1

2

)x+n
∴设k（x）=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

-（

1

2

）^x，
∵可以判断k（x）单调递增函数，∴对区间[3，4]上的每一个x的值，
k（3）=-

9

8

为最小值，
∴不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立只需n＜-

9

8

点评：本题综合考查了对数函数的单调性，不等式的恒成立问题转化为最值问题，属于中档题．