Question

已知关于x的函数g（x）=

2

x

+alnx（a∈R），f（x）=2x+g（x）．
（1）试讨论函数g（x）的单调区间；
（2）若a＞0，试求f（x）在区间（0，1）内的极值；
（3）求证：2x+

2

x

+alnx-3＞0恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值；
（3）将问题转化为只需x+

1

x

+alnx-1＞0，构造h（x）=x+

1

x

+alnx，求出函数h（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=

2

x

+alnx，（x＞0）
∴g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，
当a=0时，g（x）=

2

x

，故g（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＜0时，可得g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，g（x）在（0，

2

a

）上单调递减，在（

2

a

，+∞）单调递增；
（2）∵f（x）=2x+g（x）．
∴f（x）=2x+

2

x

+alnx，（x＞0）
∵f′（x）=2-

2

x2

+

a

x

=

2x2+ax-2

x2

，
若a＞0，则
当x∈（0，

-a+ a2+16

4

）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，

-a+ a2+16

4

）时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间（0，

-a+ a2+16

4

）上为减函数，在区间（

-a+ a2+16

4

，1）上为减函数，
∴当x=

-a+ a2+16

4

时，函数f（x）取极小值；
（3）∵x+

1

x

≥2，（x＞0），
∴要证2x+

2

x

+alnx-3＞0，
只需x+

1

x

+alnx-1＞0，
构造h（x）=x+

1

x

+alnx，
求导有：x′+(

1

x

)′+（alnx）′=0，
当h′（x）=0时有最值，
∴1-

1

x2

+

a

x

=0时，h（x）有最小值，
即x²+ax-1=0，(x+

a

2

)2=1+(

a

2

)2，
∴h（x）的最小值为：1+(

a

2

)2＞1，
∴x+

1

x

+alnx＞1得证，

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值，最值，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题．