题目内容
对于函数f（x）=x3+3x+a，在曲线y=
上存在点（s，t），使得f（f（t））=t，则a的取值范围是（ ）
| 2x |
| x2+1 |
| A、（-3，0） |
| B、[-3，0] |
| C、（-3，3） |
| D、[-3，3] |
考点：函数的值
专题：函数的性质及应用
分析：设f（t）=t，则f（x）=x3+3x+a=x，从而a=-x3-x，由此能求出-2≤a≤2；假设f（t）=b＞t，则f（b）＞t，由f（x）=x3+3x+a，得a=-x3-3x，由
=x，得-3≤a≤3．由此能求出a的取值范围．
| 2x |
| x2+1 |
解答：
解：①设f（t）=t，则f（x）=x3+3x+a=x，
∴x3+2x+a=0
a=-x3-x，
∵曲线y=
上存在点（s，t），使f（t）=t，
∴
=x，解得x=0或x=±1，
∴a=0或a=±2．
∴-2≤a≤2；
②∵函数函数f（x）=x3+3x+a单调递增，
∴假设f（t）=b＞t，则f（b）＞t，
∵f（x）=x3+3x+a，
∴a=-x3-3x
∵曲线y=
上存在点（s，t），使f（t）=t，
∴
=x，解得x=0或x=±1，
∴a=0或a=±3．
∴-3≤a≤3．
综上所述a的取值范围是[-3，3]．
故选：D．
∴x3+2x+a=0
a=-x3-x，
∵曲线y=
| 2x |
| x2+1 |
∴
| 2x |
| x2+1 |
∴a=0或a=±2．
∴-2≤a≤2；
②∵函数函数f（x）=x3+3x+a单调递增，
∴假设f（t）=b＞t，则f（b）＞t，
∵f（x）=x3+3x+a，
∴a=-x3-3x
∵曲线y=
| 2x |
| x2+1 |
∴
| 2x |
| x2+1 |
∴a=0或a=±3．
∴-3≤a≤3．
综上所述a的取值范围是[-3，3]．
故选：D．
点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
f（x）=a+
是奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、-
| ||
B、
| ||
| C、-1 | ||
| D、1 |