Question

已知命题p：f（x）=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上恒有意义，命题 q：存在x₀∈（1，3]，使得不等式

1-a•log3x0

≥2成立，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：f（x）=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上恒有意义，即1-a•3^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立，所以a≤(

1

3

)x在（-∞，0]上恒成立，所以a≤((

1

3

)x)min=1，即命题p：a≤1．存在x₀∈（1，3]，使得不等式

1-a•log3x0

≥2成立，即关于x₀的不等式组

1-a•log3x0≥0 1-a•log3x0≥4

在（1，3]上有解，由不等式组得a≤

-3

log3x0

在（1，3]上有解，而

-3

log3x0

≤-3，所以a≤-3，即命题q：a≤-3，而根据p且q为真命题知p，q都是真命题，所以求命题p，q下的a的取值范围的交集即可．

解答： 解：命题p：1-a•3^x≥0在（-∞，0]上恒成立，即a≤3^-x在（-∞，0]上恒成立；
3^-x在（-∞，0]上是减函数，所以3^-x的最小值是3⁰=1，∴a≤1；
命题q：∵x₀∈（1，3]时，log₃x₀＞0，∴由

1-a•log3x0≥0 1-a•log3x0≥4

得，a≤

-3

log3x0

在（1，3]上有解，函数

-3

log3x0

在（1，3]上是增函数，∴

-3

log3x0

≤

-3

log33

=-3，∴a≤-3；
若“p且q”为真命题，则p，q都为真命题，∴a≤1，且a≤-3，∴a≤-3；
∴实数a的取值范围是（-∞，-3]．
故答案为：（-∞，-3]．

点评：考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，函数单调性的定义，以及p且q的真假和p，q真假的关系．