Question

7．已知y=f（x）是二次函数，方程f（0）=1，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）与y=-x²-4x+1所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数以及导数的关系式得到解析式的系数；求导解析式；
（2）利用定积分表示图象面积，然后计算定积分．

解答 解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x²+2x+c．
又∵方程f（0）=1得到c=1，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）∵函数f（x）=x²+2x+1与函数y=-x²-4x+1的图象交于点（0，1），（-3，4），
∴两函数图象所围成的图形的面积为${∫}_{-3}^{0}（-{x}^{2}-4x+1-{x}^{2}-2x-1）dx$=${∫}_{-3}^{0}（-2{x}^{2}-6x）dx$=（$-\frac{2}{3}{x}^{3}-3{x}^{2}$）|${\;}_{-3}^{0}$=9．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法以及定积分的运用；利用定积分的几何意义表示图象的面积是关键．