Question

6．已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\sqrt{5}$（1-cos2B）=8sinBsinC，A+$\frac{3B}{2}$=π．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式化简已知等式可得$\sqrt{5}$sinB=4sinC，由A+$\frac{3B}{2}$=π，及三角形内角和定理可求B=2C，
可求cosC，进而由二倍角公式即可计算得解cosB的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理可求$\sqrt{5}$b=4c，进而可求b=4$\sqrt{5}$，由余弦定理可得：a²-6a-55=0，解得a的值，
可求CD，利用同角三角函数基本关系式求得sinC，利用三角形面积公式可求S_△ADC．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{5}$（1-cos2B）=8sinBsinC，
∴2$\sqrt{5}$sin²B=8sinBsinC，
∴由sinB≠0，可得：$\sqrt{5}$sinB=4sinC，…2分
∵A+$\frac{3B}{2}$=π，
∴C=$\frac{B}{2}$，即B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，可得：cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…4分
∴cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{3}{5}$…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\sqrt{5}$sinB=4sinC，可得：$\sqrt{5}$b=4c，可得b=4$\sqrt{5}$，…8分
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：a²-6a-55=0，解得：a=11或a=-5（舍去），…10分
∴CD=5，
又∵cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…11分
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AC•sinC=$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=10．…12分

点评 本题主要考查了二倍角公式，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了推理论证能力以及运算求解能力，属于中档题．解三角形的问题常与三角函数恒等变换进行交汇考查，此时要注意根据题设条件寻找合理的公式，此外，在求解三角形中的边或角时，要注意将这些量安置在相关的三角形中，进而转化成解三角形中常见的四种模型求解．