Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}+2x-1，x∈（0，1]}\\{kx+1，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$有两个不相等的零点x₁，x₂，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的最大值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 对k讨论，当k=0，k＞0，函数f（x）仅有一个零点；当k＜0时，分别求出两个零点，运用换元法，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}+2x-1，x∈（0，1]}\\{kx+1，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$，
当k=0时，f（x）=0，仅有一根x=$\frac{1}{2}$，不符题意；
当k＞0时，x＞1时，f（x）无零点；
则0＜x≤1时，f（x）=0的两根为x=$\frac{-2±\sqrt{4+4k}}{2k}$=$\frac{-1±\sqrt{1+k}}{k}$，
必有一个负的，也不符合题意；
故k＜0，由x＞1可得kx+1=0，即x₁=-$\frac{1}{k}$，-1＜k＜0；
由0＜x≤1时，f（x）=0即为k=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，$\frac{1}{x}$≥1，
可得x₂=$\frac{1}{1+\sqrt{1+k}}$，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-k+1+$\sqrt{1+k}$，-1＜k＜0，
令t=$\sqrt{1+k}$，0＜t＜1，可得-k+1+$\sqrt{1+k}$=t-（t²-1）+1=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$即k=-$\frac{3}{4}$时，取得最大值$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查函数的零点的求法，注意运用分类讨论和换元法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．