Question

方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点，且x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

（n∈N⁺），则log

1

2

（x₂₀₁₄-1）=（　　）

• A、2014
• B、2013
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点?

x

a(x+2)

=x有唯一实数根，化为ax²+（2a-1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=

1

2

．f（x）=

2x

x+2

．由于x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

，可得xn+1-1=

1

2

(xn-1)，再利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．

解答： 解：函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点，∴

x

a(x+2)

=x有唯一实数根，
化为ax²+（2a-1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a-1）²-0=0，解得a=

1

2

．
∴f（x）=

2x

x+2

．
∵且x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

，
∴x_n+1=

2 xn +2

2× 2 xn

=

1

2

xn+

1

2

，
∴xn+1-1=

1

2

(xn-1)，
∴数列{x_n-1}是等比数列，
∴xn-1=(2-1)×(

1

2

)n-1，
∴xn-1=(

1

2

)n-1．
∴log

1

2

（x₂₀₁₄-1）=log

1

2

(

1

2

)2013=2013．
故选：B．

点评：本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．