题目内容

9．设函数f（x）=ax2+ex（a∈R）有且仅有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

分析 求函数f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，从而求出满足条件的参数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax2+ex，a∈R，
∴f′（x）=2ax+ex，
显然a≠0，x1，x2是直线y=-$\frac{1}{2a}$与曲线y=g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$两交点的横坐标，
由g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=0，得x=1，
列表如下：

x（-∞，1）1（1，+∞）
g′（x）+0-
g（x）↗g（x）max=$\frac{1}{e}$↘
此外注意到：
当x＜0时，g（x）＜0；
当x∈[0，1]及x∈（1，+∞）时，g（x）的取值范围分别为[0，$\frac{1}{e}$]和（0，$\frac{1}{e}$）；
于是题设等价于0＜-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{e}$，
解得a＜-$\frac{e}{2}$，
即实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．
故答案为：$（{-∞，-\frac{e}{2}}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性问题，解题时应注意导数的正负对应着函数的单调性，是综合性题目．

练习册系列答案
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19．化简：
（1）$\frac{{{{sin}^2}（α+π）cos（π+α）cos（-α-2π）}}{{tan（π+α）{{sin}^3}（\frac{π}{2}+α）sin（-α-2π）}}$；
（2）$\frac{{\sqrt{1+2sin{{20}°}cos{{160}°}}}}{{sin{{160}°}-\sqrt{1-{{sin}^2}{{20}°}}}}$．
20．已知圆C：（x-3）2+（y+1）2=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为-2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．
17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知bcosB是acosC与ccosA的等差中项．
（1）确定角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{3}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求a+c的值．
4．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）-m＞0对于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$都成立，求实数m的取值范围．
14．已知z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），若z1+z2为纯虚数，则有（　　）
A．a-c=0且b-d≠0B．a-c=0且b+d≠0C．a+c=0且b+d≠0D．a+c≠0且b+d=0
1．若函数f（x）=$\frac{1}{{{e^x}-x+m}}$的定义域为R，则实数m的取值范围是m＞-1．
18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+sinx\\-{x^2}+cos（x+α）\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（　　）
A．0B．$\frac{π}{2}$C．πD．$\frac{3π}{2}$
19．已知3a=2，用a表示log34-log36．

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