Question

20．已知圆C：（x-3）²+（y+1）²=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为-2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）考虑斜率存在与否的情况，根据弦长的中点与圆心的连线、圆心与交点A到构成直角三角形，利用勾股定理求k．即可得到直线方程．
（2）当斜率为-2时，直线过M点，求出直线方程，设出P的坐标，过点P的切线长等于PM．求解即可．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得答案．

解答 解：由题意：圆C：（x-3）²+（y+1）²=25，圆心为（3，-1），半径r=5．
过点M（0，4）的直线l与圆C交于点A，B，AB=8，设直线方程为：kx-y+4=0（k存在），
圆心到直线的距离d=$\frac{|3k-1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵弦长AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$
∴4=$\sqrt{{5}^{2}-{d}^{2}}$
解得：d²=9
那么：$\frac{|3k+1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3
解得：k=-$\frac{8}{15}$
所以直线方程为：8x+15y-60=0．
当k不存在时，直线方程为x=0，
圆心到直线的距离d=3，由弦长AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，
解出来AB=8
故AB=8时，直线l的方程为：x=0或8x+15y-60=0．
（2）当斜率为-2时，直线过M点，可得直线方程为：y=-2x+4．
点P在直线上，设P（x，-2x+4），由点P的切线长等于PM．
解得：x=$\frac{9}{26}$，y=$\frac{43}{13}$
故P的坐标为（$\frac{9}{26}$，$\frac{43}{13}$）．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半有：定点M 的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用，主要涉及直线与相交时，圆心距，半弦长与半径的关系，切线即直角三角形相关性质．