Question

4．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）-m＞0对于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算f（x），根据正弦函数的图象与性质，即可求出它的单调递增区间；
（2）问题转化为对任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，f（x）_min＞m恒成立，求出f（x）_min即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z：
（若没写k∈Z，扣1分）
（2）不等式f（x）-m＞0对于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$都成立，
等价于对任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，f（x）_min＞m都成立；
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
所以$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
即$f{（x）_{min}}=2×（-\frac{1}{2}）+1=0$，
所以m的取值范围是m＜0．

点评 本题考查了平面向量的数量积和正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合性题目．