题目内容
17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知bcosB是acosC与ccosA的等差中项．（1）确定角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{3}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求a+c的值．
分析 （1）由题意可得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理和三角函数公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，由三角形内角的范围可得B值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求ac，利用余弦定理及平方和公式即可计算a+c的值．
解答 解：（1）在△ABC中，∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB，
又∵sinB＞0，上式两边同除以sinB可得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$b=\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：3=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac，①
又∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$a×$c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ac=3，②
∴由①②联立可得：a+c=2$\sqrt{3}$．
点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
7．在等比数列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=（ ）
| A． | 1 | B． | ±1 | C． | 2 | D． | ±2 |
8．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为9．
12．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\bar w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．| $\bar x$ | $\bar y$ | $\bar w$ | $\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$ | $\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$ |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．