Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（1，3]
• B、（1，3）
• C、（3，+∞）
• D、[3，+∞）

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，可知：y′=x2+mx+

m+n

2

=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，利用根与系数的关系可得：（x₁-1）（x₂-1）=

m+n

2

+m+1＜0，得到平面区域D，且m＜-1，n＞1．由于y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，可得

lg3

lga

＞1，进而得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
∴y′=x2+mx+

m+n

2

=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
则x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，
∴m＜-1，n＞1．
∵y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，
∴log_a（-1+4）＞1，∴

lg3

lga

＞1，
∵a＞1，∴lga＞0，
∴1g3＞lga．
解得1＜a＜3．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．