题目内容

17.△ABC的外接圆半径为R,C=60°,则$\frac{a+b}{R}$的取值范围是(  )
A.[$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$]B.[$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$)C.($\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$]D.($\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$)

分析 先由正弦定理和两角和与差的正弦公式得到$\frac{a+b}{R}$=2$\sqrt{3}$sin(A+30°),再根据正弦函数的图象和性质即可求出.

解答 解:在△ABC中,由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2R,
∴a=2RsinA,b=2RsinB,
∴$\frac{a+b}{R}$=2sinA+2sinB=2sinA+2sin(120°-A)=2(sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA)=2$\sqrt{3}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA)=2$\sqrt{3}$sin(A+30°),
∵C=60°,
∴0°<A<120°,
∴30°<A+30°<150°,
∴$\frac{1}{2}$<sin(A+30°)≤1,
∴$\sqrt{3}$<2$\sqrt{3}$sin(A+30°)≤2$\sqrt{3}$,
故选:C.

点评 本题考查了正弦定理和两角和差的正弦公式以及诱导公式,属于中档题.

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