Question

9．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα=asinβ，tanα=btanβ，求证：cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{{b}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 利用同角的三角函数基本关系，消去β，然后化简求解即可．

解答 证明：∵sinα=asinβ，tanα=btanβ，且a、β∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{bsinβ}{cosβ}$，
∴$\frac{asinβ}{cosα}$=$\frac{bsinβ}{cosβ}$，
化简得bcosα=acosβ；
∴b²cos²α=a²cos²β，
又sin²α=a²sin²β，
两式相加得：sin²α+b²cos²α=a²；
即sin²α-sin²α-cos²α+b²cos²α=a²-1，
∴（b²-1）cos²α=a²-1；
即得cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{{b}^{2}-1}}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与恒等式的证明问题，是基础题目．