Question

【题目】设直线与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点.

（1）证明：；

（2）若，求的面积取得最大值时椭圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）的面积取得最大值时椭圆的方程是.

【解析】

（1）设直线l的方程为y=k（x+1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，由=3得y2=，从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程可求．

（1）依题意，直线显然不平行于坐标轴，故可化为.

将代入，消去，

得，①

由直线与椭圆相交于两个不同的点，

，整理得.

（2）设，.由①，得，

因为，得，代入上式，得.

于是，的面积，

其中，上式取等号的条件是，即.

由，可得.

将，及，

这两组值分别代入①，均可解出.

所以，的面积取得最大值时椭圆的方程是

.