Question

已知直线l：x+y=m和曲线C：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）．
（1）直线l与曲线C相交于两点，求m的取值范围；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）联立

x+y=m y2=4(x+4)

，化为x²-（4+2m）x+m²-16=0，令△=0，解得m=-5．把x=4代入抛物线方程可得y²=4×8，取y=-4

2

．把(4，-4

2

)代入直线x+y=m，可得m=4-4

2

．即可得出m的取值范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由（1）可得x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²-16．利用弦长公式可得|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

2m+10

．利用点到直线的距离公式可得原点O到直线l的距离d=

|m|

2

．利用S_△OAB=

1

2

d•|AB|=2

m2(m+5)

．令f（m）=m³+5m²，m∈(-5，4-4

2

]．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）联立

x+y=m y2=4(x+4)

，化为x²-（4+2m）x+m²-16=0，
令△=（4+2m）²-4（m²-16）=0，解得m=-5．
把x=4代入抛物线方程可得y²=4×8，取y=-4

2

．
把(4，-4

2

)代入直线x+y=m，可得m=4-4

2

．
∴-5＜m≤4-4

2

．
∴m的取值范围是(-5，4-4

2

]；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²-16．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4+2m)2-4(m2-16)]

=4

2m+10

．
原点O到直线l的距离d=

|m|

2

．
∴S_△OAB=

1

2

d•|AB|
=

1

2

×

-m

2

×4

2m+10

=2

m2(m+5)

．
令f（m）=m³+5m²，m∈(-5，4-4

2

]．
f′（m）=3m²+10m=3m(m+

10

3

)．
令f′（m）＞0，解得-5＜m＜-

10

3

，此时函数f（m）单调递增；令f′（m）＜0，解得-

10

3

＜m≤4-4

2

，此时函数f（m）单调递减．
∴当m=-

10

3

时，函数f（m）取得极大值即最大值

500

27

．
∴△AOB面积取得最大值2

500 27

=

20 15

9

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得△≥0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．