Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移

π

3

个单位得到函数g（x）的图象，若α∈[0，π]，且g（a）=

1

2

，求sin（

5π

6

-α）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意求得周期，再由周期公式求得ω，结合f（x）为偶函数可得φ，则函数解析式可求；
（Ⅱ）由三角函数的图象平移得到g（x）的解析式，再由g（α）=

1

2

得到cos（α-

π

3

）=

1

2

，结合诱导公式求得sin（

5π

6

-α）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）图象上相邻的两个最低点间的距离为2π．
∴周期为2π，
则ω=

2π

T

=

2π

2π

=1，
又∵0≤φ≤π，f（x）为偶函数，
φ=

π

2

，则f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=cosx．得g(x)=cos(x-

π

3

)，
∵g（α）=cos（α-

π

3

）=

1

2

，
∴sin（

5π

6

-α）=sin[

π

2

-（α-

π

3

）]=cos（α-

π

3

）=

1

2

．

点评：本题考查了三角函数解析式的求法，考查了三角函数的图象平移，是中档题．