Question

11．记方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，其中a₁，a₂，a₃是正实数，当a₁，a₂，a₃成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（　　）

• A． 方程①有实根或方程②无实根
• B． 方程①有实根或方程②有实根
• C． 方程①无实根或方程②无实根
• D． 方程①无实根或方程②有实根

Answer 1

分析 当方程③有实根时，${a}_{3}^{2}-4$≥0，又a₃＞0，解得a₃≥2．由于a₁，a₂，a₃成等比数列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．对于方程①x²+a₁x+1=0，△₁=${a}_{1}^{2}-4$；对于方程②x²+a₂x+1=0，△₂=${a}_{2}^{2}$-4．对△₂分类讨论即可得出．

解答 解：当方程③有实根时，${a}_{3}^{2}-4$≥0，又a₃＞0，解得a₃≥2．
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．
对于方程①x²+a₁x+1=0，△₁=${a}_{1}^{2}-4$；对于方程②x²+a₂x+1=0，△₂=${a}_{2}^{2}$-4．
假设△₂＜0，则0＜a₂＜2，则a₁=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，可得△₁＜0，因此方程①无实数根；
假设△₂≥0，则a₂≥2，则a₁=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$与2的大小不确定，因此△₁与0大小关系不确定，即方程①可能有实数根也可能无实数根．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．