Question

9．若全集U=R，函数y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$的定义域为A，函数y=log₂（-2x²+5x+3）的定义域为B．
（1）求集合（∁_UA）∩（∁_UB）；
（2）设函数g（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+（a-1）x+a}$的定义域为集合C，若B∩C=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，即可求集合（∁_UA）∩（∁_UB）；
（2）求出集合C，由B∩C=B，可得B⊆C，即C=[-1，a]且a≥3，从而求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{x+1≥0}\end{array}\right.$，可得x≥2，∴A={x|x≥2}  …（1分）
由-2x²+5x+3＞0，可得$B=\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}＜x＜3}\right.}\right\}$…（3分）
C_UA={x|x＜2}，${C_U}B=\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}或x≥3}\right.}\right\}$，∴（C_UA）∩（C_UB）=$\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}}\right.}\right\}$…（6分）
（2）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}$，∴定义域C={x|-x²+（a-1）x+a≥0}…（7分）
由-x²+（a-1）x+a≥0，得x²-（a-1）x-a≤0，即（x-a）（x+1）≤0，…（9分）
∵B∩C=B，∴B⊆C，∴C=[-1，a]且a≥3．
∴实数a的取值范围是a≥3．…（12分）

点评 本题考查函数的定义域，考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，属于中档题．