Question

函数已知f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n．并且x∈[m，n]时f（x） 取值范围为[

1

n

，

1

m

]．试求m，n的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，f（x）=-2（x-1）²+1，函数f（x）在∈[m，n]上是减函数，且m、n是方程-2（x-1）²+1=

1

x

的2个解，由此求得m，n的值．

解答： 解：由题意可得，f（x）=-2（x-1）²+1的图象的对称轴方程为x=1，
且x∈[m，n]时f（x） 取值范围为[

1

n

，

1

m

]．
故函数f（x）在∈[m，n]上是减函数，且m、n是方程-2（x-1）²+1=

1

x

的2个解，
即m、n是方程（x-1）（x²-2x-1）=0 的根．
由此方程求得x=1，或x=

1- 3

2

，或 x=

1+ 3

2

，
故m=1，n=

1+ 3

2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．