Question

设抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为直线l，过焦点F且倾斜角为θ（θ≠

π

2

）的直线交抛物线于A，B两点，给出下列命题：
①|AB|=

8

cos2θ

；
②

1

|FA|

+

1

|FB |

=

1

4

；
③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
④设点B在直线l上的射影为B₁，则点A、O、B₁三点共线．
其中正确的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用|AB|=x₁+x₂+p求得|AB|．
②根据抛物线的定义分别用A，B的横坐标表示出|FA|，|FB|，代入验证即可．
③求出线段AB的中点O即圆心的横坐标，进而可求得O到准线的距离，与

|AB|

2

比较若相等，则说明以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
④分别表示出A，B₁的坐标，表示出OA，OB的斜率，看二者能不能相等．

解答：解：①∵θ≠

π

2

，
∴直线AB的斜率一定存在，设为k，则直线AB的方程为y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2=8x

，消去y得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=

4k2+8

k2

，x₁x₂=4，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

4k2+8

k2

+4=

8(1+k2)

k2

=

8(1+ sin2θ cos2θ )

sin2θ cos2θ

=

8

sin2θ

，
∴①结论错误．
②

1

|FA|

+

1

|FB |

=

|AB|

(x1+2)(x2+2)

=

8(1+k2) k2

16(1+k2) k2

=

1

2

，故结论②错误．
③AB的中点坐标O的横坐标为

x1+x2

2

=

2k2+4

k2

，
O到准线l的距离为

2k2+4

k2

+2=

4(1+k2)

k2

=

4

sin2θ

=

1

2

|AB|，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；结论③正确．
④依题意知B₁（-2，k（x₂-2）），A点坐标（x₁，k（x₁-2）），
∴k_AO=

k(x1-2)

x1

，k_B1O=

k(x2-2)

-2

假设k_AO=k_B1O，即

k(x1-2)

x1

=

k(x2-2)

-2

，
即-2x₁+4=x₁x₂-2x₁，
即4=x₁x₂，由①知等式成立，即假设成立，
∴k_AO=k_B1O，
∴A、O、B₁三点共线．故④结论正确．
∴有2个结论正确，
故选：C．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线与直线的关系．常需要设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用设而不求的方法解决问题．