Question

给定圆P：x²+y²=2x及抛物线S：y²=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为（　　）

• A、±

  3

  3

• B、±

  2

  2

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直线l的斜率

-1

k

的值．

解答：解：圆P的方程为（x-1）²+y²=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P（1，0），
设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y²=4ky+4，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有

y1+y2=4k y1•y2=-4

，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y₁•y₂=16（k²+1），
∴|AD|²=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+(

y12-y22

4

)2
=(y1-y2)2+[1+(

y1+y2

4

)2]=16（k²+1），
∴|AD|=4（k²+1）．
∴线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6，解得k=±

2

2

，
∴直线l的斜率为

1

k

=±

2

，
故选：C．

点评：本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键，属于中档题．