Question

19．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间、极大值和极小值．
（Ⅱ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值；
（Ⅱ）研究x∈[a+1，a+2]时，恒有f'（x）＞-3a成立的问题，可转化成f'（x）的最小值大于-3a成立．

解答 解：（Ⅰ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a，
则当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	$\frac{5}{3}$a3+1	递减	-9a3+1	递增

可知：当x∈（-∞，-a）时，函数f（x）为增函数，
当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为增函数．
当x∈（-a，3a）时，函数f（x）为减函数，
当x=-a时，f（x）的极大值为$\frac{5}{3}$a³+1；
当x=3a时，f（x）的极小值为-9a³+1．
（Ⅱ）因为f'（x）=x²-2ax-3a²的对称轴为x=a，
且其图象的开口向上，
所以f'（x）在区间[a+1，a+2]上是增函数，
则在区间[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a
等价于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a，
解得：-$\frac{1}{4}$＜a＜1：，又a＞0，
故a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及恒成立问题．