Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²-c²=ab，c=3，sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，则△ABC的周长为 3+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a²+b²-c²=ab，及余弦定理，可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C=$\frac{π}{3}$，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c=3$\sqrt{2}$ab，代入c=3，可得：a+b=$\sqrt{2}$ab，进而可求2（ab）²-3ab-9=0，解得ab的值，从而可求三角形的周长．

解答 解：由a²+b²-c²=ab，及余弦定理，可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
所以C=$\frac{π}{3}$，
由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，可得：（sinA+sinB）sinC=2$\sqrt{6}$sinCsinAsinB，
可得：（sinA+sinB）sinC=2$\sqrt{6}$sin$\frac{π}{3}$sinAsinB，
可得：（sinA+sinB）sinC=3$\sqrt{2}$sinAsinB，
结合正弦定理，可得：（a+b）c=3$\sqrt{2}$ab，代入c=3，可得：a+b=$\sqrt{2}$ab，
再结合a²+b²-c²=ab，可得：（a+b）²-2ab-3²=ab，
可得：（a+b）²-3ab-9=0，可得：（$\sqrt{2}$ab）²-3ab-9=0，
可得：2（ab）²-3ab-9=0，可得：（2ab+3）（ab-3）=0，解得：ab=-$\frac{3}{2}$（舍去）或ab=3．
可得：a+b=3$\sqrt{2}$，a+b+c=3+3$\sqrt{2}$．
故答案为：3+3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．