Question

4．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，$AB=AD=\frac{1}{2}CD=2$，$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}（0＜λ＜1）$．
（1）当$λ=\frac{1}{2}$时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为$\frac{1}{{\sqrt{38}}}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）取DE中点N，连结MN，AN，则由中位线定理可得BM∥AN，从而BM∥平面ADEF；
（2）建立空间坐标系，求出平面ABF和平面BDM的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系列方程解出λ．

解答 证明：（1）取DE中点N，连结MN，AN，
当λ=$\frac{1}{2}$时，M为EC中点，又N是DE中点，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}CD$．
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴AB∥MN，AB=MN．
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM∥AN，∵AN?平面ADEF，BM?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
（2）以D为坐标原点建立空间坐标系如图：
则$\overrightarrow{AD}$为平面ABF的一个法向量，$\overrightarrow{AD}=（-2，0，0）$．
$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{DM}$=（0，4λ，2-2λ）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BDM的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{4λy+2z-2λz=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2-2λ}{4λ}$，$\frac{2λ-2}{4λ}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{λ-1}{\sqrt{6{λ}^{2}-4λ+2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{38}}$．
解得$λ=\frac{3}{2}$（舍）或λ=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的求法，属于中档题．