Question

1．已知函数f（x）=4^-x+2^x与g（x）=4^x+2^-x-m的图象上存在关于x轴对称的点，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{9}{4}$]
• B． （-2，+∞）
• C． [-$\frac{9}{4}$，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 根据对称性质得到m=4^-x+2^x+4^x+2^-x，设2^x=t，则t＞0，则m=$\frac{1}{{t}^{2}}$+t+t²+$\frac{1}{t}$，利用基本不等式即可求出．

解答 解：函数f（x）=4^-x+2^x与g（x）=4^x+2^-x-m的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程4^-x+2^x=-（4^x+2^-x-m）?m=4^-x+2^x+4^x+2^-x有解，
设2^x=t，则t＞0，
∴m=$\frac{1}{{t}^{2}}$+t+t²+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+2$\sqrt{{t}^{2}•\frac{1}{{t}^{2}}}$=2+2=4，当且仅当t=1时取等号，
∴m≥4，
故选：D．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围以及基本不等式，属于中档题．